Question

已知在数列{a_n}中，a₁=1，a_2n+1=qa_2n-1+d（d∈R，q∈R 且q≠0，n∈N^*）．
（1）若数列{a_2n-1}是等比数列，求q与d满足的条件；
（2）当d=0，q=2时，一个质点在平面直角坐标系内运动，从坐标原点出发，第1次向右运动，第2次向上运动，第3次向左运动，第4次向下运动，以后依次按向右、向上、向左、向下的方向交替地运动，设第n次运动的位移是a_n，第n次运动后，质点到达点P_n（x_n，y_n），求数列{n•x_4n}的前n项和S_n．

Answer

（1）根据a1=1，a2n+1=qa2n-1+d（d∈R，q∈R 且q≠0，n∈N*），若数列{a2n-1}是等比数列，分d=0与d≠0讨论解决；
（2）当d=0，q=2时，可求得，于是x4=a1-a3=1-2，，…，从而求得x4n=，Sn=x4+2x8+3x12+…+（n-1）•x4（n-1）+n•x4n利用错位相减法可求得sn．
【解析】
（1）∵a1=1，a2n+1=qa2n-1+d，q≠0，
①当d=0时，a2n+1=qa2n-1，显然{a2n-1}是等比数列；
②当d≠0时，a3=qa1+d=q+d，a5=qa3+d=q（q+d）+d．
∵数列{a2n-1}是等比数列，
∴，即（q+d）2=q（q+d）+d，化简得q+d=1．
此时有a2n+1=qa2n-1+1-q，得a2n+1-1=q（a2n-1-1），
由 a1=1，q≠0，得a2n-1=1（n∈N*），则数列{a2n-1}是等比数列．
综上，q与d满足的条件为d=0（q≠0）或q+d=1（q≠0，d≠0）．
（2）当d=0，q=2时，
∵a2n+1=2a2n-1，
∴，
依题意得：x4=a1-a3=1-2，，…，
∴．
∴．
∴．
∴Sn=x4+2x8+3x12+…+（n-1）•x4（n-1）+n•x4n==．
令①
4Tn=1×24+2×26+3×28+…+（n-1）•22n+n•22n+2②
①-②得==．
∴．
∴．