Question

已知：椭圆的左右焦点为M，N；直线PQ经过N交椭圆于P，Q两点．
（1）求证：△MPQ的周长为定值．
（2）求△MPQ的面积的最大值？

Answer

（1）由椭圆的左右焦点为M，N，直线PQ经过N交椭圆于P，Q两点，知△MPQ的周长l=|MP|+|NP|+|MQ|+|NQ|=4a，由此能够证明△MPQ的周长为定值．
（2）由椭圆的左右焦点为M，N，知N（2，0），设PQ为x=ny+2，代入椭圆，得（n2+2）y2+4ny-4=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，故=，由此能求出△MPQ的面积的最大值．
（1）证明：∵椭圆的左右焦点为M，N，直线PQ经过N交椭圆于P，Q两点，
∴△MPQ的周长l=|MP|+|NP|+|MQ|+|NQ|=4a=8，
故△MPQ的周长为定值8．
（2）【解析】
∵椭圆的左右焦点为M，N，
∴N（2，0）
设PQ为x=ny+2代入椭圆，得（ny+2）2+2y2=8，
整理，得（n2+2）y2+4ny-4=0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则，
∴=，
∴△MPQ的面积
=，
令t=，
则=4，
∴当t=1，即n=0时，△MPQ的面积的最大值为4．