Question

在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，E是AD的中点，F是PC的中点．
（1）求证：BE⊥平面PAD；
（2）求证：EF∥平面PAB；
（3）求直线EF与平面PBE所成角的余弦值．

Answer

（I）由已知利用余弦定理可求BE，利用勾股定理可知BE⊥AE，由平面PAD⊥平面ABCD可证BE⊥平面PAD
（II）证明：由F是PC的中点考虑取PB的中点H，容易证四边形AHFE是平行四边形即EF∥AH，根据线面平行的判定定理可证
（III）由（I）知BC⊥BE，PE⊥BC，可得BC⊥平面PBE，又由（II）知HF∥BC，可得FH⊥平面PBE，则∠FEH是直线EF与平面PBE所成的角，，在Rt△PBE中可求
证明：（I）E是AD中点，连接PE∴AB=2，AE=1
∴BE2=AB2+AE2-2AB•AE•cos∠BAD
=4+1-2×2×1×cos60°=3
∴AE2+BE2=1+3=4=AB2∴BE⊥AE
又平面PAD⊥平面ZBCD，交线AD
∴BE⊥平面PAD
（II）证明：取PB的中点H，连接FH，AH
，又HF是△PBC的中位线

∴AE∥HF，AE=HF
∴四边形AHFE是平行四边形
∴EF∥AH
又EF⊈平面PAB，AH⊂平面PAB
∴AH∥平面PAB
（III）由（I）知BC⊥BE，PE⊥BC
又PE'BE是平面PBE内两相交直线
∴BC⊥平面PBE，又由（II）知HF∥BC
∴FH⊥平面PBE
∴∠FEH是直线EF与平面PBE所成的角
易知BE=PE=，在Rt△PBE中
∴∴
故直线EF与平面PBE所成角的余弦值为