Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，它的前n项和S_n满足，并且a₂，a₄，a₉成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_n+n-1，求数列的前n项和T_n，并证明：．

Answer

（1）由，知a1+a2+a3+…+an=，所以，故an-an-1=3．所以{an}为等差数列，公差d=3．由a2，a4，a9成等比数列，解得a1=1．由此能求出数列{an}的通项公式．
（2）由bn=an+n-1=3n-2+n-1=4n-3，知==，故Tn==，由此能求出数列的前n项和Tn，并证明．
【解析】
（1）∵，
∴a1+a2+a3+…+an=，
即6（a1+a2+a3+…+an）=（an+1）（an+2），
∴6（a1+a2+a3+…+an-1）=-3an+2=（an-1）（an-2），
即6（a1+a2+a3+…+an-1）=6Sn-1，
又由已知可得6Sn-1=（an-1+1）（an-1+2），
故（an-1+1）（an-1+2）=（an-1）（an-2），
∴，
，
（an-an-1）（an+an-1）=3（an+an-1）
∴an-an-1=3．所以{an}为等差数列，公差d=3．
∵a2，a4，a9成等比数列，
∴3+a1，9+a1，24+a1成等比数列，
∴，
解得a1=1．
∴an=a1+（n-1）d=1+3（n-1）=3n-2．
（2）∵bn=an+n-1=3n-2+n-1=4n-3，
∴==，
∴Tn=
==．
∵Tn==，
∴，
∵n∈N*，∴当n=1时，Tn取最小值．
故．