Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是底面正方形ABCD的中心，M是线段A₁B的中点．
（Ⅰ）证明：平面A₁BD⊥平面A₁ACC₁；
（Ⅱ）证明：MO∥平面B₁BCC₁．

Answer

（Ⅰ）利用底面ABCD是正方形，说明BD⊥AC，然后证明BD⊥平面A1ACC1，推出平面A1BD⊥平面A1ACC1． 
（Ⅱ）连接B1C．证明MO∥A1D．证明四边形A1 DC B1为平行四边形．即可证明A1D∥B1C．然后证明MO∥平面B1BCC1．
满分（14分）．
证明：（Ⅰ）∵底面ABCD是正方形，
∴BD⊥AC．                             …（2分）
∵C1C⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，
∴BD⊥C1C．
∵AC⊂平面A1ACC1，C1C⊂平面A1ACC1，且
AC∩C1C=C，
∴BD⊥平面A1ACC1．                    …（5分）
∵BD⊂平面A1BD，
∴平面A1BD⊥平面A1ACC1．            …（7分）
（Ⅱ）连B1C．                            …（9分）
在△A1BD中，∵O是BD的中点，M是BA1的中点，
∴MO∥A1D．                                                                      …（10分）
∵A1 B1∥DC，且A1 B1=DC，
∴四边形A1 DC B1为平行四边形．
∴A1D∥B1C．                                                                      …（12分）
∴MO∥B1C，且B1C⊂平面B1BCC1，MO⊄平面B1BCC1，
∴MO∥平面B1BCC1．                                                              …（14分）
说明：直线在平面内，既可用符号“”表示，也可用符号“⊂”表示，而且应特别让学生知道后一种表示．