Question

已知函数f（x）=aln（2x+1）+bx+1．
（I）若函数y=f（x）在x=1处取得极值，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线2x+y-3=0平行，求a的值；
（Ⅱ）若，试讨论函数y=f（x）的单调性．

Answer

（I）先求函数的定义域，然后求出函数的导函数，根据导数的几何意义和极值的定义建立方程组，解之即可；
（II）讨论a的正负，然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函数的单调区间．
【解析】
（Ⅰ）函数f（x）的定义域为.
由题意，解得∴．（5分）
（Ⅱ）若，则.．
（1）令，由函数定义域可知，4x+2＞0，所以2x+4a+1＞0
①当a≥0时，，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
②当a＜0时，，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
（2）令，即2x+4a+1＜0
①当a≥0时，不等式f'（x）＜0无解；
②当a＜0时，，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
综上：当a≥0时，函数f（x）在区间为增函数；
当a＜0时，函数f（x）在区间为增函数；
在区间为减函数．（14分）