Question

已知圆C₁的圆心在直线l₁：x-y=0上，且圆C₁与直线相切于点A（，1），直线l₂：x+y-8=0．
（1）求圆C₁的方程；
（2）判断直线l₂与圆C₁的位置关系；
（3）已知半径为的动圆C₂经过点（1，1），当圆C₂与直线l₂相交时，求直线l₂被圆C₂截得弦长的最大值．

Answer

（1）根据圆C1与直线相切于点，可得圆心C1在直线y=1上，利用圆心C1在直线x-y=0上，可求圆心C1的坐标，利用圆C1与直线相切，可求圆C1的半径，从而可得圆C1的方程；
（2）利用圆心C1到直线l2的距离与半径的关系，可得直线l2与圆C1的位置关系；
（3）先确定圆C2的圆心C2（a，b）在圆C1上，设直线l2：x+y-8=0与圆C2的交点分别为M，N，MN的中点为P，进而可知求直线l2被圆C2截得弦长MN的最大值即求C2P的最小值，利用C2P的最小值为d-|C1C2|，可求直线l2被圆C2截得弦长的最大值．
【解析】
（1）∵圆C1与直线相切于点，
∴圆心C1在直线y=1上，…（1分）
又圆心C1在直线x-y=0上，
∴圆心C1为直线y=1和直线x-y=0的交点，即点（1，1）．…（2分）
∵圆C1与直线相切，
∴圆C1的半径等于点（1，1）到直线的距离，
即圆C1的半径为
∴圆C1的方程为（x-1）2+（y-1）2=8…（5分）
（2）∵圆心C1到直线l2的距离为…（7分）
∴直线l2与圆C1相离．…（8分）
（3）由已知，可设圆C2的方程为（x-a）2+（y-b）2=8，
∵圆C2经过点（1，1），
∴（1-a）2+（1-b）2=8，即（a-1）2+（b-1）2=8，
∴圆C2的圆心C2（a，b）在圆C1上．…（10分）
设直线l2：x+y-8=0与圆C2的交点分别为M，N，MN的中点为P，
由圆的性质可得：，
所以求直线l2被圆C2截得弦长MN的最大值即求C2P的最小值．…（12分）
又因为C1到直线l2的距离为，
所以C2P的最小值为，
所以，
即，
故直线l2被圆C2截得弦长的最大值为．…（14分）