Question

在数列{a_n}中，a₂+1是a₁与a₃的等差中项，设，且满足．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记数列{a_n}的前n项的和为S_n，若数列{b_n}满足b_n=a_nlog₂（s_n+2），试求数列{b_n}的前n项的和T_n．

Answer

（1）通过向量平行，判断数列是等比数列，然后求数列{an}的通项公式；
（2）求出{an}的前n项的和为Sn，然后求出bn=anlog2（sn+2）的表达式，利用错位相减法求数列{bn}的前n项的和Tn．
【解析】
（1）因为，，
所以an+1=2an，数列{an}是等比数列，公比为2，
又a2+1是a1与a3的等差中项，
2（a2+1）=a1+a3，即2（2a1+1）=5a1，
解得a1=2，
数列{an}的通项公式an=2•2n-1=2n；
（2）数列{an}的前n项的和为Sn==2n+1-2，
数列{bn}满足bn=anlog2（sn+2）=2nlog2（2n+1-2+2）=2n•（n+1），
Tn=2×21+3×22+4×23+…+（n+1）•2n…①，
①×2得2Tn=2×22+3×23+4×24+…+（n+1）•2n+1…②，
①-②得，-Tn=2×21+22+23+…+2n-（n+1）•2n+1
=2-（n+1）•2n+1+
=2-（n+1）•2n+1+2n+1-2
=-n•2n+1，
数列{bn}的前n项的和Tn=n•2n+1．