Question

（I）求函数的定义域；
（2）判断并证明函数f（x）=的奇偶性
（3）证明函数 f（x）= 在x∈[2，+∞）上是增函数，并求f（x）在[4，8]上的值域．

Answer

（1）由可求得其定义域；
（2）由奇函数的定义f（-x）=-x-=-（x+）=-f（x），可判断f（x）为奇函数；
（3）利用单调函数的定义，设2＜x1＜x2，作差f（x1）-f（x2）化积判断符号即可．
【解析】
（Ⅰ）由得-1＜x≤，
∴求函数的定义域为：{  x|-1＜x≤}-----（3分）
（2）f（x）=x+为奇函数---------（4分）
证明：∵f（-x）=-x-=-（x+）=-f（x），
∴f（x）=x+为奇函数．---------（5分）
（3）证明：设2＜x1＜x2，
f（x1）-f（x2）=x1+-x2-
=x1-x2-
=（x1-x2）（1-）…（2分）
∵2＜x1＜x2，
∴x1-x2＜0，x1x2＞4，即0＜＜1．
∴1-＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）；
∴f（x）是增函数．
由（1）知f（x）在[4，8]上是增函数…（6分）
∴f（x）max=f（8）=，f（x）min=f（4）=5．
∴f（x）在[4，8]上的值域为[5，]．（8分）