Question

（1）求函数的值域和单调区间．
（2）已知-1≤x≤2，求函数f（x）=3+2•3^x+1-9^x的最大值和最小值．

Answer

（1）设函数=，t=x2-2x-1=（x-1）2-2≥-2，由此能求出函数的值域；在函数中，，t=x2-2x-1的对称轴是x=1，由此能求出函数的单调区间．
（2）由-1≤x≤2，知，由f（x）=3+2•3x+1-9=-（3x-3）2+12，能求出函数f（x）=3+2•3x+1-9x的最大值和最小值．
【解析】
（1）设函数=，
t=x2-2x-1=（x-1）2-2≥-2，
∴函数的值域是（0，9]；
在函数中，
∵，t=x2-2x-1的对称轴是x=1，增区间是[1，+∞），减区间是（-∞，1]，
∴函数的增区间是（-∞，1]，减区间是[1，+∞）．
（2）∵-1≤x≤2，∴，
∵f（x）=3+2•3x+1-9x
=3+6•3x-（3x）2
=-（3x-3）2+12，
∴3x=3时，f（x）取最大值12，
3x=9时，f（x）取最小值-24．