Question

设定义在R上的函数f（x）=ax⁴+bx³+cx²+dx+e，当x=-1时，f（x）取得极大值，并且函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）试在函数f（x）的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间上；
（Ⅲ）若，（t∈R₊），求证：．

Answer

（Ⅰ）先判断y=f（x）的图象关于原点（0，0）对称，再根据x=-1时，f（x）有极值，所以x=1时，f（x）也有极值，所以f（x）=bx3+dx．由得 ，从而可求f（x）的表达式；
（Ⅱ）设这两个切点分别为（x1，y1），（x2，y2），并且x1＜x2，f'（x）=x2-1，依题意，利用条件x1，x2≠1且|x1|≤，|x2|≤，可得x1=0或x2=0，从而可得函数f（x）的图象上两点的坐标；
（Ⅲ）先确定函数的单调区间，进一步可证，，从而．
（Ⅰ）【解析】
因y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，
故y=f（x）的图象关于原点（0，0）对称．
故f（x）+f（-x）=0，易得a=c=e=0，故f（x）=bx3+dx．
因为x=-1时，f（x）有极值，所以x=1时，f（x）也有极值．
又f′（x）=3bx2+d=3b（x+1）（x-1）=3bx2-3b，
于是 d=-3b．
又由得 ，
由此解得 ，d=-1，
∴．
（Ⅱ）【解析】
设这两个切点分别为（x1，y1），（x2，y2），并且x1＜x2，f'（x）=x2-1，
依题意有…（*）
因x1，x2≠1且|x1|≤，|x2|≤，
故，．
由（*）式得，即．
故，解得或x2=0．
同理可得或x1=0．
又因为当与同时成立时与（*）式矛盾，
所以x1=0或x2=0．
故，或，．
即所求的两点为或．
（Ⅲ）证明：f′（x）=x2-1，
令f′（x）＞0，可得x＜-1或x＞1；
令f′（x）＜0，可得-1＜x＜1．
所以f（x）的单调递增区间为（-∞，-1）和（1，+∞），f（x）的单调递减区间为（-1，1）．
因，
故f（1）＜f（x）＜f（0）．
即，故；
因，，f（0）=0，，
故，故．
故．