Question

已知函数且．
（I）求m的值；
（II）判定f（x）的奇偶性；
（III）证明f（x）在上是单调递增函数．

Answer

（Ⅰ）由于f（4）=，故f（4）=4m+=，从而可求得m；
（Ⅱ）利用奇偶函数的定义即可判断f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）利用单调性的定义即可判断之．可设≤x1＜x2，作差f（x1）-f（x2）判断即可．
【解析】
（Ⅰ）∵f（4）=，
∴f（4）=4m+=，
∴4m=4，m=1…4
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=x+，
∵f（x）的定义域为{x|x≠0}，…5
又f（-x）=-x-=-（x+）=-f（x），
∴f（x）是奇函数…8
（Ⅲ）设≤x1＜x2，则
f（x1）-f（x2）=x1+-（x2+）=（x1-x2）（1-）=（x1-x2）…11
∵≤x1＜x2，
∴x1-x2＜0，x1x2＞2，
∴＞0，…13
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
∴f（x）在上是单调递增函数．