Question

如图，已知椭圆焦点为F₁、F₂，双曲线G：x²-y²=4，设P是双曲线G上异于顶点的任一点，直线PF₁、PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D．
（1）设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁和k₂，求k₁•k₂的值；
（2）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）设出点P的坐标，表示出斜率，利用P是双曲线G上异于顶点的任一点，即可求得k1•k2的值；
（2）设出直线AB，CD的方程与椭圆方程联立，求得相应弦长，利用|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，可得，从而问题得解．
【解析】
（1）设点P（x，y），x≠±2，那么，
∴
∵P是双曲线G上异于顶点的任一点
∴x2-y2=4，
∴y2=x2-4，
∴k1k2=1
（2）设直线AB：y=k1（x+2），k1≠0
由方程组得
设A（x1，y1），B（x2，y2）
则
由弦长公式得
同理设C（x3，y3），D（x4，y4），
由（1）k1•k2=1得，，代入得
∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，∴
则存在，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立．