Question

直线y=x+b与曲线有且只有一个交点，则b的取值范围是（ ）
A．
B．-1＜b≤1且
C．-1≤b≤1
D．非A、B、C结论

Answer

由曲线方程的特点得到此曲线表示在y轴右边的单位圆的一半，可得出圆心坐标和圆的半径r，然后根据题意画出相应的图形，根据图形找出三个关键点：直线过（0，-1）；直线过（0，1）以及直线与圆相切且切点在第四象限，把（0，-1）与（0，1）代入直线y=x+b中求出相应的b值，根据图形得到直线与曲线只有一个交点时b的范围，再由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于b的方程，求出方程的解得到b的值，此时直线与曲线也只有一个交点，综上，得到满足题意的b的范围．
【解析】
由题意可知：曲线方程表示一个在y轴右边的单位圆的一半，
则圆心坐标为（0，0），圆的半径r=1，
画出相应的图形，如图所示：

∵当直线y=x+b过（0，-1）时，把（0，-1）代入直线方程得：b=-1，
当直线y=x+b过（0，1）时，把（0，1）代入直线方程得：b=1，
∴当-1＜b≤1时，直线y=x+b与半圆只有一个交点时，
又直线y=x+b与半圆相切时，圆心到直线的距离d=r，即=1，
解得：b=（舍去）或b=-，
综上，直线与曲线只有一个交点时，b的取值范围为-1＜b≤1或b=-．
故选B