Question

巳知数列{a_n}的前n项和S_n，满足：S₂=3，2S_n=n+na_n，n∈N^*，数列{b_n}是递增的等比数列，且b₁+b₄=9，b₂•b₃=8，
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）求和T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n．

Answer

（1）令n=1先求出首项，当n≥2时，仿写一个新的等式，两个式子相减得到关于项之间的递推关系，再仿写一个新等式，两个式子相减得到等差中项，判断出数列{an}为等差数列，利用等差数列的通项公式求出通项；设出数列{bn}的公比，利用等比数列的通项公式将已知等式用首项及公比不是，解方程组求出首项与公比，利用等比数列的通项公式求出通项．
（2）根据数列通项的特点，利用错位相减的方法求出数列的前n项和．
【解析】
（1）当n=1时，2a1=1+a1解得a1=1
当n≥2时，2Sn=n+nan    ①
2Sn-1=n-1+（n-1）an-1   ②
①-②得2an=1+nan-（n-1）an-1   ③
∴2an+1=1+（n+1）an+1-nan    ④
④-③得an+1+an-1=2an
又S3=3，a1=1
∴a2=2
∴数列{an}是以1为首项，公差为1的等差数列
∴an=n
设数列{bn}的公比为q，则
解得b1=1，q=2
∴bn=2n-1
（2）由（1）得Tn=1+2•2+3•22+4•23+…+n•2n-1
2Tn=1•2+2•22+3•23+…+（n-1）•2n-1+n•2n
∴-Tn=1+2+22+23+…+n•2n=
∴Tn=（n-1）•2n+1