Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为CC₁的中点．
（Ⅰ）求证：AC₁∥平面BDE；
（Ⅱ）判断并证明，点F在棱DD₁上什么位置时，平面AC₁F∥平面BDE．

Answer

（I）先利用三角形中位线定理证明OE∥AC1，再利用线面平行的判定定理证明所证结论；
（2）先判断点F的位置为DD1的中点，再利用线面平行的判定定理证明FC1∥平面BDE，最后结合（I），利用面面平行的判定定理证明两面平行
【解析】
（Ⅰ）设AC∩BD=0，连OE
∵O、E为别为AC、CC1的中点
∴OE∥AC1
又AC1⊈平面BDE，OE⊂平面BDE
∴AC1∥平面BDE
（Ⅱ）点F在棱DD1的中点时，平面AC1F∥平面BDE．
证明：∵点F为棱DD1中点，E为CC1的中点．
∴DF∥C1E 且DF=C1E=CC1  
∴DFC1E为平行四边形  
∴FC1∥DE，FC1⊈平面BDE，DE⊂平面BDE
∴FC1∥平面BDE，又AC1∥平面BDE
且FC1∩AC1=C1
∴平面AC1F∥平面BDE