设函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），且f（1）=-．（1）求证：函数f...

设函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0），且f（1）=- manfen5.com 满分网

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（1）求证：函数f（x）有两个零点．
（2）设x₁，x₂是函数f（x）的两个零点，求|x₁-x₂|的范围．
（3）求证：函数f（x）的零点x₁，x₂至少有一个在区间（0，2）内．

（1）由条件化简函数的解析式，求出函数的判别式，由判别式大于0恒成立得到函数f（x）有两个零点．（2）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，则x1，x2是方程f（x）=0的两根，可求x1+x2及x1•x2的值，将|x1-x2|变形，用x1+x2及x1•x2的值表示，配方求出最小值，由题意知，式子无最大值．（3）分c＞0时和c≤0两种情况，判断函数值在区间端点处的函数值的符号，根据函数零点的判定定理得出结论．【解析】（1）证明：∵，∴3a+2b+2c=0，∴． ∴，=（2a+b）2+2a2， ∵a＞0，∴△＞0恒成立，故函数f（x）有两个零点．（2）若x1，x2是函数f（x）的两个零点，则x1，x2是方程f（x）=0的两根． ∴． ∴．故|x1-x2|的范围是[，+∞）．（3）根据f（0）=c，f（2）=4a+2b+c，由（I）知3a+2b+2c=0，∴f（2）=a-c．（i）当c＞0时，有f（0）＞0，又∵a＞0，∴，故函数f（x）在区间（0，1）内有一个零点，故在区间（0，2）内至少有一个零点．（ii）当c≤0时，f（1）＜0，f（0）=c≤0，f（2）=a-c＞0，∴函数f（x）在区间（1，2）内有一零点，综合（i）（ii），可知函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点．

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考点分析：

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试题属性

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