Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，BC⊥AC，BC=AC=AA₁=2，D为AC的中点．
（1）求证：AB₁∥平面BDC₁；
（2）求二面角B-C₁D-C的正切值；
（3）设AB₁的中点为G，问：在矩形BCC₁B₁内是否存在点H，使得GH⊥平面BDC₁．若存在，求出点H的位置，若不存在，说明理由．

Answer

（1）欲证AB1∥平面BC1D，只需证明AB1平行平面BC1D中的一条直线，利用三角形的中位线平行与第三边，构造一个三角形AB1C，使AB1成为这个三角形中的边，而中位线MD恰好在平面BC1D上，就可得到结论．
（2）先过C作CE⊥C1D且设CE∩C1D=E，可得∠CEB为二面角C-BC1-D的平面角．再把∠CEB放到三角形CEB中求出正切值即可；
（3）建立空间直角坐标系，求出各点坐标以及各向量的坐标，根据GH⊥平面BC1D，可算得点H的位置．
【解析】
（1）连接B1C，设B1C∩BC1=M，连接MD，
在△AB1C中，M为B1C中点，D为 AC中点，
∴DM∥AB1，
又∵AB1不在面BDC1内，DM在面BDC1内，
∴AB1∥面BDC1．…（3分）
（2）过C作CE⊥C1D且设CE∩C1D=E，连接BE，
∵BC⊥面ACC1A1，C1D在平面ACC1A1内，
∴BC⊥C1D．又CE⊥C1D，
∴C1D⊥面BEC，∴C1D⊥BE，
∴∠CEB为二面角B-C1D-C的平面角，设为θ．…（5分）
在RT△BEC中，BC=2，由CE×C1D=C1C×DC可得CE=，
∴tanθ==，即二面角B-C1D-C的正切值为．…（7分）
（3）以C1为坐标原点，为X轴，为Y轴，为Z轴建立空间直角坐标系．
依题意，得：C1（0，0，0），D（1，2，0），B（0，2，2，），G（1，1，1，），假设存在H（0，m，n）
=（-1，m-1，n-1），=（1，2，0），=（-1，0，2）
由GH⊥平面BC1D，得：
⊥⇒（-1，m-1，n-1）•（1，2，0）=0
∴m=
同理，由得：n=
即：在矩形BCC1B1内是存在点H，使得GH⊥平面BDC1．
此时点H到B1C1的距离为，到C1C的距离为．…（13分）