Question

定义在R上的奇函数f（x）满足：当x＞0时，f（x）=2010^x+log₂₀₁₀x，则在R上方程f（x）=0的实根个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

根据f（x）是R上的奇函数，则f（0）=0，当x＞0时，函数f1（x）=2010x，f2（x）=-log2010x的图象有一个交点，知2010x+log2010x=0有唯一实数根，由奇函数的性质知，当x＜0时，也有唯一一个根使得f（x）=0，从而得到结论．
【解析】
当x＞0时，令f（x）=0得，即2010x=-log2010x，
在同一坐标系下分别画出函数f1（x）=2010x，f2（x）=-log2010x的图象，
如右图，可知两个图象只有一个交点，即方程f（x）=0只有一个实根，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴当x＜0时，方程f（x）=0也有一个实根，
又∵f（0）=0，
∴方程f（x）=0的实根的个数为3．
故选C．