Question

已知函数f（x）=a•4^x-2^x+1+a+3．
（1）若a=0，解方程f（2x）=-5；
（2）若a=1，求f（x）的单调区间；
（3）若存在实数x∈[-1，1]，使f（x）=4，求实数a的取值范围．

Answer

（1）将a=0代入，可得指数方程，求解即可；
（2）a=1代入，再利用单调性的定义，注意分类讨论，从而确定函数的单调区间；
（3）设2x=t，由x∈[-1，1]，得，且f（x）=a•4x-2x+1+a+3=a•t2-2t+a+3，所以存在，使得a•t2-2t+a+3=4，即a•t2-2t+a-1=0，构建函数，用函数的思想解决方程根的问题．
【解析】
（1）若a=0，由f（2x）=-5，即-22x+1+3=-5，
∴22x+1=8，∴22x+1=23，
∴2x+1=3
∴x=1（2分）
（2）若a=1，则f（x）=4x-2x+1+4，设x1，x2∈R，且x1＜x2，
f（x2）-f（x1）===
∵
①当x1，x2∈[0，+∞）时，有，
∴，
∴f（x2）＞f（x1），
∴f（x）在[0，+∞）上是增函数；
②当x1，x2∈（-∞，0]时，有，
∴，
∴f（x2）＜f（x1），
∴f（x）在（-∞，0]上是减函数
∴f（x）的单调增区间是[0，+∞），单调减区间是（-∞，0]（7分）
（3）设2x=t，由x∈[-1，1]，得，且f（x）=a•4x-2x+1+a+3=a•t2-2t+a+3
∴存在，使得a•t2-2t+a+3=4，即a•t2-2t+a-1=0
令g（t）=a•t2-2t+a-1，
若a=0，由f（x）=4，无解．
若a≠0，则函数g（t）的对称轴是
由已知得方程g（t）=0在上有实数解
∴或
∴或
∴或
∴实数a的取值范围为．