Question

已知函数f（x）是定义在[-1，1]上的函数，若对于任意的x，y∈[-1，1]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，有f（x）＞0．
（1）求f（0）的值；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）判断函数f（x）在[-1，1]上是增函数还是减函数，并证明你的结论．

Answer

（1）根据题意，用特殊值法，令x=y=0，可得f（0+0）=f（0）+f（0），计算可得答案；
（2）在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令y=-x，可得f（x-x）=f（x）+f（-x），进而由（1）的结论，可得f（-x）=-f（x），考虑f（x）的定义域，可得答案；
（3）设x1，x2∈[-1，1]，且x1＜x2，结合f（x+y）=f（x）+f（y）可得f（x2-x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2）-f（x1），又由题意，x＞0时，有f（x）＞0，可得f（x2）＞f（x1），即可得证明．
【解析】
（1）根据题意，在f（x+y）=f（x）+f（y）中，
令x=y=0，则f（0+0）=f（0）+f（0），
∴f（0）=0．
（2）令y=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x），即f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
又x∈[-1，1]，其定义域关于原点对称，
∴f（x）是奇函数．
（3）设x1，x2∈[-1，1]，且x1＜x2，则x2-x1＞0．
∵x＞0时，有f（x）＞0，∴f（x2-x1）＞0，
又∵f（x2-x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2）-f（x1），
∴f（x2）-f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），
即f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）在[-1，1]上是增函数．