Question

已知f （x）=．
（1）求证：f （x） 是奇函数；
（2）判断函数f （x）的单调性，并证明你的结论．

Answer

（1）先求函数的定义域，再利用函数奇偶性的定义证明函数为奇函数即可；（2）先由函数f（x）的图象性质判断函数的单调性，再利用函数单调性的定义证明函数的单调性即可，由于此函数为奇函数，故可先证明其在（0，+∞）上的单调性，再利用对称性证明（-∞，0）上的单调性
【解析】
（1）证明：函数f （x）=的定义域为{x|x≠0}
且f（-x）=-x+=-（）=-f（x）
∴f （x） 是奇函数
（2）函数f（x）在（-∞，-1）上为增函数，在（-1，0）上为减函数，在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数
证明：先证明函数f（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数
任取x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，则
f（x1）-f（x2）=x1-x2+=（x1-x2）（1-）
若x1＜x2∈（0，1），则x1-x2＜0，1-＜0，从而f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）
若x1＜x2∈（1，+∞），则x1-x2＜0，1-＞0，从而f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）
∴函数f（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数
又∵函数f（x）为奇函数，∴函数f（x）在（-∞，-1）上为增函数，在（-1，0）上为减函数
∴函数f（x）在（-∞，-1）上为增函数，在（-1，0）上为减函数，在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数