Question

已知函数f （x）=是奇函数，且f （1）=2．
（1）求f （x） 的解析式；
（2）判断函数f （x）的单调性，并证明你的结论；
（3）若x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁≠x₂．求证．

Answer

1）利用函数f （x）=为奇函数，且 f（1）=2，可得 f（-1）=-f（1）=-2，从而得到关于a、b的方程组，解之即可；
（2）直接利用单调性的定义即可证明；
（3）要证．利用作差法可证明
【解析】
：（1）∵f （x）=为奇函数，且 f（1）==2
∴f（-1）==-f（1）=-2，解得：a=1，b=0．
∴f（x）=．
（2）函数f（x）在区间（1，+∞）上是增函数，在区间（0，1）上是减函数，在（-1，0）上单调递减，在（-∞，-1）上单调递增
证明：∵函数的定义域为{x|x≠0}
在区间（0，+∞）上任取x1，x2，令0＜x1＜x2
∴f（x1）-f（x2）==
∵0＜x1＜x2＜1
∴x1-x2＜0，1-x1x2＞0，x1x2＞0，
①当1＜x1＜x2时，x1x2-1＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）
故函数f（x）在区间（1，+∞）上是增函数．
②x1＜x2≤1时，x1x2-1＜0
∴f（x1）-f（x2）＞0即f（x1）＞f（x2）
故函数f（x）在区间（0，1）上是减函数
根据奇函数的对称性可知，函数在（-1，0）上单调递减，在（-∞，-1）上单调递增
（3）∵x1，x2∈（1，+∞），且x1≠x2．
∴=
===＜0
∴