Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AA₁=4，AB=5，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥BC₁；
（ 2）求证：AC₁∥平面CDB₁．

Answer

（1）利用ABC-A1B1C1为直三棱柱，证明CC1⊥AC，利用AB2=AC2+BC2，说明AC⊥CB，证明AC⊥平面C1CB1B，推出AC⊥BC1．
（2）设CB1∩BC1=E，说明E为C1B的中点，说明AC1∥DE，然后证明AC1∥平面CDB1．
【解析】
（1）∵ABC-A1B1C1为直三棱柱，
∴CC1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，
∴CC1⊥AC…（2分）
∵AC=3，BC=4，AB=5，，
∴AB2=AC2+BC2，∴AC⊥CB …（4分）
又C1C∩CB=C，
∴AC⊥平面C1CB1B，又BC1⊂平面C1CB1B，
∴AC⊥BC1…（7分）
（2）设CB1∩BC1=E，∵C1CBB1为平行四边形，
∴E为C1B的中点…（10分）
又D为AB中点，∴AC1∥DE…（12分）
DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1…（14分）