Question

如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知DC=DD₁=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC．
（1）求证：D₁C⊥AC₁；
（2）设E是DC上一点，试确定E的位置，使D₁E∥平面A₁BD，并说明理由．

Answer

（1）要证D1C⊥AC1；需证D1C⊥平面ADC1即可
（2）确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，设AD1∩A1D=M，BD∩AE=N，连接MN，证明MN∥D1E即可．
【解析】
（1）证明：在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，
连接C1D，∵DC=DD1，
∴四边形DCC1D1是正方形．∴DC1⊥D1C．
又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC⊥DD1=D，
∴AD⊥平面DCC1D1，D1C⊂平面DCC1D1，
∴AD⊥D1C．∵AD，DC1⊂平面ADC1，
且AD⊥DC=D，∴D1C⊥平面ADC1，
又AC1⊂平面ADC1，∴D1C⊥AC1．

（2）连接AD1，连接AE，
设AD1∩A1D=M，BD∩AE=N，连接MN，∵平面AD1E∩平面A1BD=MN，
要使D1E∥平面A1BD，
须使MN∥D1E，
又M是AD1的中点．∴N是AE的中点．
又易知△ABN≌△EDN，∴AB=DE．
即E是DC的中点．
综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD．