Question

已知函数f（x）=（x-1）²，g（x）=alnx．
（1）若两曲线y=f（x）与y=g（x）在x=2处的切线互相垂直，求a的值，并判断函数F（x）=f（x）-g（x）的单调性并写出其单调区间；
（2）若函数的图象与直线y=x至少有一个交点，求实数a的取值范围．

Answer

（1）根据两曲线y=f（x）与y=g（x）在x=2处的切线互相垂直，利用导数研究曲线上某点切线的斜率求出a值，再利用导数法求函数的单调递增区间．
（2）由于ϕ（x）=，令h（x）=ϕ（x）-x，由题意得h（x）=0在区间（0，+∞）上至少有一解，下面利用导数工具结合分类讨论思想研究此函数的单调性，最后综合得出a的取值范围．
【解析】
（1）由题意：g′（x）=，∴g（x）的图象在x=2切线的斜率为：g′（2）=，
又f′（x）=2（x-1），∴f（x）的图象在x=2切线的斜率为：f′（2）=2，
由两曲线y=f（x）与y=g（x）在x=2处的切线互相垂直得：
，∴a=-1，
∴F（x）=f（x）-g（x）=（x-1）2+lnx，（x＞0）
∴F′（x）=2x+-2≥2-2＞0
即函数F（x）在（0，+∞）上为增函数，
（2）ϕ（x）=
令h（x）=ϕ（x）-x，由题意得h（x）=0在区间（0，+∞）上至少有一解，，令h'（x）=0，得
①当＜0即a＜0时，h（x）单调递增区间为（0，1），减区间为（1，+∞），
所以h（x）max=h（1）=-1＜0，所以方程h（x）=0无解．
②当＞1即时，h（x）单调递增区间为（0，1），（，减区间为（1，），所以极大值h（1）=-1，极小值，
又h（x）=
∴，所以方程恰好有一解；
③当时，h'（x）≥0，由上②知方程也恰好有一解；
④当时，h（x）单调递增区间为（0，），（1，+∞），减区间为（，1），
同上可得方程h（x）=0在（0，+∞）上至少有一解．
综上所述，所求a的取值范围为（0，+∞）