Question

探究函数，x∈（0，+∞）的最小值，并确定相应的x的值，列表如下：

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	8.5	5	4.17	4.05	4.005	4	4.005	4.102	4.24	4.3	5	5.8	7.57	…

请观察表中y值随x值变化的特点，完成下列问题：
（1）若函数，（x＞0）在区间（0，2）上递减，则在______上递增；
（2）当x=______时，，（x＞0）的最小值为______；
（3）试用定义证明，（x＞0）在区间（0，2）上递减；
（4）函数，（x＜0）有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？

Answer

（1）观察表格即可得到结论；
（2）观察表格可得到x=2时满足题意；
（3）可以利用单调性的定义进行证明：①设0＜x1＜x2＜2，②f（x1）-f（x2），③整理化简，判断符号即可；
（4）利用函数的奇偶性与单调性即可得到答案．
【解析】
（1）∵f（2.1）=4.005，f（2.2）=4.102，f（2.3）=4.24，f（3）=4.3…
故函数，（x＞0）在区间（2，+∞）（左端点可以闭）递增；
 （2）由表格可知，x=2时，ymin=4 （4分）
（3）设0＜x1＜x2＜2，则
f（x1）-f（x2）=
=
∵0＜x1＜x2＜2∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜4∴∴
∴＞0即f（x1）-f（x2）＞0∴f（x1）＞f（x2）
∴f（x）在区间（0，2）上递减．
（4）∵为奇函数，∴当x=-2时有最大值-4．