Question

在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为（φ为参数），曲线C₂的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α与C₁，C₂各有一个交点．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=时，这两个交点重合．
（I）分别说明C₁，C₂是什么曲线，并求出a与b的值；
（II）设当α=时，l与C₁，C₂的交点分别为A₁，B₁，当α=-时，l与C₁，C₂的交点为A₂，B₂，求四边形A₁A₂B₂B₁的面积．

Answer

（I）有曲线C1的参数方程为（φ为参数），曲线C2的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），消去参数的C1是圆，C2是椭圆，并利用．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=时，这两个交点重合，求出a及b．
（II）利用C1，C2的普通方程，当α=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α=-时，l与C1，C2的交点为A2，B2，利用面积公式求出面积．
【解析】
（Ⅰ）C1是圆，C2是椭圆．
当α=0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），
因为这两点间的距离为2，所以a=3
当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1）（0，b），
因为这两点重合
所以b=1．
（Ⅱ）C1，C2的普通方程为x2+y2=1和．
当时，射线l与C1交点A1的横坐标为，
与C2交点B1的横坐标为．
当时，射线l与C1，C2的两个交点A2，
B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形．
故四边形A1A2B2B1的面积为．