Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，点P为DD₁的中点．
（1）求证：直线BD₁∥平面PAC；
（2）求证：平面PAC⊥平面BDD₁；
（3）求证：直线PB₁⊥平面PAC．

Answer

（1）利用三角形中位线的性质证明PO∥BD1，进而得到线BD1∥平面PAC．
（2）由底面ABCD是正方形，则AC⊥BD，再由DD1⊥AC，得到AC⊥面BDD1，这样在平面PAC内找到了2条直线和平面BDD1垂直，问题得证．
（3）△PB1C中，先求出三边的长度，使用勾股定理可得PB1⊥PC，同理可证PB1⊥PA，这样，PB1垂直于平面PAC的2条相交直线，所以直线PB1⊥平面PAC．
【解析】
（1）设AC和BD交于点O，连PO，
由P，O分别是DD1，BD的中点，故PO∥BD1，
所以直线BD1∥平面PAC．
（2）长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，
底面ABCD是正方形，则AC⊥BD
又DD1⊥面ABCD，则DD1⊥AC，
所以AC⊥面BDD1，则平面PAC⊥平面BDD1
（3）PC2=2，PB12=3，B1C2=5，所以△PB1C是直角三角形．PB1⊥PC，
同理PB1⊥PA，所以直线PB1⊥平面PAC．（12分）