Question

数列{a_n}首项为23，公差为整数的等差数列，且前6项均为正，从第7项开始变为负的：
（1）求此等差数列的公差d；
（2）设前n项和为S_n，求S_n的最大值；
（3）当S_n是正数时，求n的最大值．

Answer

（1）利用数列{an}首项为23，前6项均为正，从第7项开始变为负，可得a6＞0，a7＜0，从而求出d的值；
（2）根据d＜0判断{an}是递减数列，再由a6＞0，a7＜0，得出n=6时，Sn取得最大值；
（3）由等差数列的前n项和公式，根据Sn是正数列出不等式，解不等式即可．
【解析】
（1）∵数列{an}首项为23，前6项均为正，从第7项开始变为负
∴a6=a1+5d=23+5d＞0，a7=a1+6d=23+6d＜0，
解得：＜d＜，
又d∈Z，∴d=-4
（2）∵d＜0，∴{an}是递减数列，
∵a6＞0，a7＜0
∴当n=6时，Sn取得最大值，S6=
（3）Sn=23n+（-4）＞0，整理得：n（50-4n）＞0
∴0＜n＜，又n∈N*，
∴n的最大值为12．