Question

如图，在正三棱锥P-ABC中，M、N分别是侧棱PB、PC的中点，若截面AMN⊥侧面PBC，则此三棱锥的侧棱与底面所成角的正切值是．

A．
B．
C．
D．

Answer

如图，设D为BC中点，则 PD⊥BC，PD⊥MN，垂足为E，E为MN中点．又面AMN⊥面PBC，则 PE⊥面AMN，PE⊥AE．设底面边长为2，侧棱长为a，通过解三角形的方法，解得a=，设O为底面△ABC中心，连接OB，则∠PBO为三棱锥的侧棱PB与底面所成角，在△POB中求出 tan∠PBO．
【解析】
如图，设D为BC中点，则 PD⊥BC，PD⊥MN，垂足为E，E为MN中点．又面AMN⊥面PBC，则 PE⊥面AMN，PE⊥AE．
设底面边长为2，侧棱长为a，在△PBC中，PD2=a2-1，PE2=PD2=，ME=MN=．
在△PAB中，由余弦定理，cos∠APB==，代入数据化简得=，AM2=，
在△PAE中，由勾股定理，得出 PA2=AE2+PE2=AM2-ME2+PE2，即a2=-+，解得a2=3，a=
设O为底面△ABC中心，连接OB，则∠PBO为三棱锥的侧棱PB与底面所成角，
在△POB中，BO=，由勾股定理，PO2=PB2-BO2=，PO=，所以tan∠PBO==，
三棱锥的侧棱与底面所成角的正切值是．
故选C．