Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx满足条件：①f（0）=f（1）；  ②f（x）的最小值为-．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设数列{a_n}的前n项积为T_n，且T_n=（）^f（n），求数列{a_n}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，若5f（a_n）是b_n与a_n的等差中项，试问数列{b_n}中第几项的值最小？求出这个最小值．

Answer

（1）由已知中二次函数f（x）=ax2+bx满足条件：①f（0）=f（1）；  ②f（x）的最小值为-结合二次函数的性质，我们构造关于a，b的方程，解方程求出a，b的值，即可求出函数f（x）的解析式；
（2）由已知中Tn=（）f（n），根据an=，我们可以求出n≥2时，数列的通项公式，判断a1=T1=1是否符合所求的通项公式，即可得到数列{an}的通项公式；
（3）根据等差中项的定义，及5f（an）是bn与an的等差中项，我们易判断数列{bn}的单调性，进而求出数列{bn}的最小值，及对应的项数．
【解析】
（1）由题知：，
解得，
故f（x）=x2-x．…（4分）
（2）Tn=a1•a2•…•an=，
Tn-1=a1•a2•…•an-1=（n≥2）
∴an==（n≥2），
又a1=T1=1满足上式．
所以an=．…（9分）（验证a11分）
（3）若5f（an）是bn与a的等差中项，则2×5f（an）=bn+an，
从而=bn+an，
bn=5an2-6an=．
因为an=是n的减函数，所以
当an≥，即n≤3时，bn随n的增大而减小，此时最小值为b3；
当an＜，即n≥4时，bn随n的增大而增大，此时最小值为b4．
又|a3-|＜|a4-|，所以b3＜b4，即数列{bn}中b3最小，且b3=-．…（16分）