Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意正整数n，有S_n，，n（a≠0，a≠1）成等差数列，令b_n=（a_n+1）lg（a_n+1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n（用a，n表示）
（2）当时，数列{b_n}是否存在最小项，若有，请求出第几项最小；若无，请说明理由；
（3）若{b_n}是一个单调递增数列，请求出a的取值范围．

Answer

（1）由题设知，an+1+1=a（an+1），再由{an+1}是以a为公比的等比数列．知an+1=（a1+1）an-1
又由⇒a1=a-1，由此知an=an-1．
（2）时，，，
再经过分类讨论可知存在最小项且第8项和第9项最小．
（3）由bn+1＞bn得bn+1-bn=（n+1）an+1lga-nanlga=an[（n+1）a-n]lga＞0，由此入手能够得到a的取值范围．
【解析】
（1）由题意①
∴②
②-①得，
即an+1+1=a（an+1），{an+1}是以a为公比的等比数列．∴an+1=（a1+1）an-1
又由⇒a1=a-1∴an=an-1

（2）时，，
当n＜8时，bn+1-bn＜0即bn+1＜bn，∴b1＞b2＞＞b8
当n=8时，bn+1-bn=0即bn+1=b&n，b8=b9
当n＞8时，bn+1-bn＞0即bn+1＞bn∴b9＜b10＜
存在最小项且第8项和第9项最小

（3）由bn+1＞bn得bn+1-bn=（n+1）an+1lga-nanlga=an[（n+1）a-n]lga＞0
当a＞1时，得（n+1）a-n＞0，即，显然恒成立，∴a＞1
当0＜a＜1时，lga＜0，∴（n+1）a-n＜0即，∴，∴
综上，a的取值范围为．