建立空间直角坐标系,求出A、B、C、D、P、M,的坐标
(Ⅰ)通过证明AP⊥DC.利用AD⊥DC,证明DC⊥面PAD.然后证明面PAD⊥面PCD;
(Ⅱ)求出与公式yg6d向量,即可利用cos=,求AC与PB的夹角的余弦值;
(Ⅲ)在MC上取一点N(x,y,z),则存在使,求出.说明∠ANM为所求二面角的平面角.利用cos==,即可求面AMC与面BMC夹角的余弦值.
【解析】
以A为坐标原点AD长为单位长度,如图建立空间直角坐标系,则各点坐标为.
(Ⅰ)证明:因,,
所以,所以AP⊥DC.
由题设知AD⊥DC,且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线,
由此得DC⊥面PAD.
又DC在面PCD上,故面PAD⊥面PCD.
(Ⅱ)【解析】
因,
故,,,
所以cos==.
(Ⅲ)【解析】
在MC上取一点N(x,y,z),则存在使,
=(1-x,1-y,y-z),=(1,0,-),
∴x=1-λ,y=1,z=,
要使AN⊥MC,只需,即x-z=0,解得.
可知当时,N点的坐标(),能使,
此时,有.
由,得AN⊥MC,BN⊥MC,
所以∠ANM为所求二面角的平面角.
∵,,
∴cos==
所以所求面AMC与面BMC夹角的余弦值为.