Question

关于函数f（x）=（2x-x²）e^x，则下列四个结论：
①f（x）＞0的解集为{x|0＜x＜2}
②f（x）的极小值为f（-），极大值为f（）
③f（x）没有最小值，也没有最大值
④f（x）没有最小值，有最大值，
其中正确结论为（ ）
A．①②④
B．①②③
C．①③
D．②④

Answer

令f（x）＞0可解x的范围；对函数f（x）进行求导，然后令f'（x）=0求出x，在根据f'（x）的正负判断原函数的单调性进而可确定②正确．根据函数的单调性可判断极大值即是原函数的最大值，无最小值，③不正确，④正确．从而得到答案．
【解析】
由f（x）＞0可得（2x-x2）ex＞0
∵ex＞0，∴2x-x2＞0，∴0＜x＜2，故①正确；
f′（x）=ex（2-x2），由f′（x）=0得x=±，
由f′（x）＜0得x＞或x＜-，由f′（x）＞0得-＜x＜，
∴f（x）的单调减区间为（-∞，-），（，+∞）；单调增区间为（-，）．
∴f（x）的极大值为f（），极小值为f（-），故②正确．
∵x＜-时，f（x）＜0恒成立．
∴f（x）无最小值，但有最大值f（）
∴③不正确，④正确．
故选A．