Question

若的最大值为    ．

Answer

法1：令f=x+y，则f2=（x+y）2≤2（x2+y2）=2，所以f≤．由xy==，知≤．由此能求出的最大值．
法2：令x=cosa，y=sina，则 xy=cosa•sina=[（cos（））2-（sin（））2]•2sin（）cos（）=sin（）•[cos（）-sin（）]•（1+cosa+sina），而x+y-1=sina+cosa-1=2sin（）cos（）-2（sin（））2=2sin（）•[cos（）-sin（）]，由此能求出的最大值．
解法1：令f=x+y，
则f2=（x+y）2≤2（x2+y2）=2，
所以f≤．
另一方面xy==，
所以≤．
当x=y=时，取到最大值．
解法2：令x=cosa，y=sina，
则 xy=cosa•sina=[（cos（））2-（sin（））2]•2sin（）cos（）
=2sin（）•[cos（）-sin（）]•[cos（）+sin（）]•cos（）
=sin（）•[cos（）-sin（）]•（1+cosa+sina），
而x+y-1=sina+cosa-1
=2sin（）cos（）-2（sin（））2
=2sin（）•[cos（）-sin（）]，
所以=（1+cosa+sina）
=（1+sin（a+））
≤（1+），
所以当x=y=时，的最大值为．