Question

数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+cn（c是不为0的常数，n∈N^*），且a₁，a₂，a₃成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）由已知可得，（2+c）2=2（2+3c）可求c，代入可得an+1=an+2n，利用叠加可求通项
（2）由bn===，考虑利用错位相减可求和
【解析】
（1）由已知可知a2=2+c，a3=2+3c（1分）
则（2+c）2=2（2+3c）
∴c=2
从而有an+1=an+2n（2分）
当n≥2时，an=a1+（a2-a1）+a3-a2+…+（an-an-1）
=2+2×1+2×2+…+2n=n2-n+2（4分）
当n=1时，a1=2适合上式，因而an=n2-n+2（5分）
（2）∵bn===（6分）
Tn=b1+b2+…+bn=
=
相减可得，==（9分）
∴（10分）