Question

探究函数，x∈（0，+∞）的最小值，并确定相应的x的值，列表如下：

x	…			1		2		4	8	16	…
y	…	16.25	8.5	5		4		5	8.5	16.25	…

请观察表中y值随x值变化的特点，完成下列问题：
（1）若x₁x₂=4，则f（x₁）______f（x₂）（请填写“＞，=，＜”号）；若函数，（x＞0）在区间（0，2）上递减，则在区间______上递增；
（2）当x=______时，，（x＞0）的最小值为______；
（3）试用定义证明，在区间（0，2）上单调递减．

Answer

（1）根据x1x2=4，将x1=代入函数解析式，可得结论，根据表中y值随x值变化的特点可得函数的增区间；
（2）根据表中y值随x值变化的特点可得函数的最值；
（3）证明单调性的步骤：取值、作差、变形、定号、下结论，设0＜x1＜x2＜2，然后判定f（x1）与f（x2）的大小，属于中档题．
【解析】
（1）∵x1x2=4，f（x1）=f（）=x2+=f（x2）
故答案为：=，（2，+∞） （左端点可以闭）     …（2分）
（2）根据（1）可知x=2时，ymin=4           …（6分）
（3）设0＜x1＜x2＜2，则f（x1）-f（x2）=
=…（9分）
∵0＜x1＜x2＜2∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜4∴x1x2-4＜0
∴f（x1）-f（x2）＞0∴f（x1）＞f（x2）
∴f（x）在区间（0，2）上递减              …（12分）