Question

如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别为PC、PD、BC的中点．
（1）求证：PA⊥EF；
（2）求二面角D-FG-E的余弦值．

Answer

（1）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，求出各顶点的坐标及直线与PA与EF的方向向量，然后代入向量数量积公式，易得两个向量的数量积为0，故PA⊥EF；
（2）在（1）中所示的坐标系中，我们求也平面DFG和平面EFG的法向量，然后代入二面角的向量法夹角公式中，即可得到二面角D-FG-E的余弦值．
证明：（1）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
则F（0，0.1），E（0，1，1），P（0，0，2），A（2，0，0），
∴、
∵，
∴PA⊥EF
【解析】
（2）D（0，0，0），F（0，0，1），G（1，2，0），
=（1，2，-1）
设平面DFG的法向量为=（x1，y1，z1），
∵
∴
令y1=1，得=（-2，1，0）是平面DFG的一个法向量、
设平面EFG的法向量为=（x2，y2，z2），
∴∴
，令z2=1，得=（1，0，1）是平面EFG的一个法向量、
∵
设二面角D-EG-E的平面角为θ，
则θ=＜，＞、
所以二面角D-FG-G的余弦值为