Question

已知圆C：x²+y²+x-6y+m=0和直线l：x+y-3=0
（Ⅰ）当圆C与直线l相切时，求圆C的方程；
（Ⅱ）若圆C与直线l交于P、Q两点，是否存在m，使以PQ为直径的圆经过原点O？

Answer

（Ⅰ）由圆C与直线l相切，知，由此能求出所求圆的方程．
（Ⅱ）假设存在m使以PQ为直径的圆经过原点O，则，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，得2x2+x+m-9=0，由此能推导出存在，使以PQ为直径的圆经过原点O．
【解析】
（Ⅰ）∵圆C：x2+y2+x-6y+m=0，
∴圆心C（-，3），
∵圆C与直线l相切，
∴，
故所求圆的方程为：
（Ⅱ）假设存在m使以PQ为直径的圆经过原点O，
则设P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立，
得2x2+x+m-9=0，
∵△=1-8（m-9）＞0，
∴，（8分）

=，
且符合，
∴存在，使以PQ为直径的圆经过原点O．