Question

如图所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=BC=BB₁=2，D点为棱AB的中点．
（1）求证：AC₁∥平面CDB₁
（2）求BB₁与平面CDB₁所成角的正切值．

Answer

（1）证明线面平行，只需证明AC1平行于平面CDB1内的一条直线，利用三角形的中位线可证；
（2）先证明平面CDB1⊥ABB1A1，过B作BE⊥B1D，则∠BB1E是BB1与平面CDB1所成角，从而可求BB1与平面CDB1所成角的正切值．
（1）证明：连接BC1交B1C于M，连接DM
∴M是B1C的中点
∵D是AB的中点，∴MD∥AC1，
又MD⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1．
（2）【解析】
∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，D点为棱AB的中点．
∴CD⊥平面ABB1A1，
∵CD⊂平面CDB1．
∴平面CDB1⊥ABB1A1，
过B作BE⊥B1D，∵平面CDB1∩ABB1A1=B1D
∴BE⊥平面CDB1．
∴∠BB1E是BB1与平面CDB1所成角
∵BB1⊥BD
∴△BEB1∽△DBB1，
由得
即BB1与平面CDB1所成角的正切值为