Question

某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．
（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰为51元？（3分）
（2）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P=f（x）的表达式；
（3）如果订购量为x个，该厂获得的利润为L，写出函数L=g（x）的表达式；当销售商一次订购零件量x∈[50，500]时，要使该厂获得的利润最大，只有销售商一次订购多少零件．

Answer

（1）根据出厂单价定为60元，实际出厂单价恰为51元，当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，即可求出一次订购量；
（2）根据题意，零件的实际出厂单价是个分段函数，结合（1）可分段写出对应的函数，从而得出函数P=f（x）的表达式；
（3）利润为实际出厂单价与零件的成本的差乘以一次订购零件量，再利用利润函数g（x）在[50，500]范围内是增函数，即可求得该厂获得的利润最大时，销售商一次订购的零件数．
【解析】
（1）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x个，则x=100+（2分）
因此，当一次订购量为550个时，零件的实际出厂单价恰为51元 （3分）
（2）当0＜x≤100时，P=60； （4分）
当100＜x＜550时，P=60-0.02（x-100）=62-（6分）
当x≥550时，P=51，（7分）．
所以，P=（9分）
（3）设销售商一次订购零件量为x个时，该厂获得的利润为L元，则
L=g（x）=（P-40）（11分）
∴函数g（x）在[50，550]范围内是增函数 （13分）
∴当x=550时，g（x）取得最大值．
所以，要使该厂获得的利润最大，只有销售商一次订购550个零件． （14分）