Question

在椭圆+=1内有一点M（4，-1），使过点M的弦AB的中点正好为点M，求弦AB所在的直线的方程．

Answer

假设直线AB的方程与椭圆方程联立，消去y得x的方程，利用M是弦AB的中点，建立方程，可求得k的值，验证此时方程的判别式大于0，从而得解．
【解析】
由题意，直线的斜率存在
设直线的斜率为k，则方程为y+1=k（x-4），与椭圆+=1联立，
消去y得（1+4k2）x2-（32k2+8k）x-40=0，
∴x1+x2=
∵M是弦AB的中点，
∴=8，解得k=1，
此时方程（1+4k2）x2-（32k2+8k）x-40=0的判别式大于0，从而直线AB与椭圆有两个交点，k=1符合题意．
∴AB的方程是x-y-5=0．