Question

椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，若椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等于椭圆的焦距，又已知直线2x-y-4=0被此椭圆所截得的弦长为，求此椭圆的方程．

Answer

由椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等于椭圆的焦距，知4c2=（a+c）（a-c），解得b2=4c2，由，得24x2-80x+80-m=0，由弦长公式得，由此能求出椭圆的方程．
【解析】
∵椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等于椭圆的焦距，
∴4c2=（a+c）（a-c），
解得a2=5c2，
∴b2=4c2，
由，
消去y，得24x2-80x+80-m=0，
设直线与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），
则，，k=2，
由弦长公式l===，
∵直线2x-y-4=0被此椭圆所截得的弦长为，
∴，
解得m=24，
∴椭圆的方程是4x2+5y2=24．