Question

以知椭圆的两个焦点分别为F₁（-c，0）和F₂（c，0）（c＞0），过点的直线与椭圆相交与A，B两点，且F₁A∥F₂B，|F₁A|=2|F₂B|．
（1）求椭圆的离心率；
（2）求直线AB的斜率；
（3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F₂B上有一点H（m，n）（m≠0）在△AF₁C的外接圆上，求的值．

Answer

（1）由F1A∥F2B且|F1A|=2|F2B|，得，从而，由此可以求出椭圆的离心率．
（2）由题意知椭圆的方程可写为2x2+3y2=6c2，设直线AB的方程为，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则它们的坐标满足方程组，整理，得（2+3k2）x2-18k2cx+27k2c2-6c2=0．再由根的判别式和根与系数的关系求解．
（III）解法一：当时，得，．线段AF1的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是△AF1C外接圆的圆心，因此外接圆的方程为．由此可以推导出的值．
解法二：由椭圆的对称性可知B，F2，C三点共线，由已知条件能够导出四边形AF1CH为等腰梯形．由此入手可以推导出的值．
（1）【解析】
由F1A∥F2B且|F1A|=2|F2B|，
得，从而
整理，得a2=3c2，故离心率
（2）【解析】
由（I）得b2=a2-c2=2c2，
所以椭圆的方程可写为2x2+3y2=6c2
设直线AB的方程为，即y=k（x-3c）．
由已知设A（x1，y1），B（x2，y2），
则它们的坐标满足方程组
消去y整理，得（2+3k2）x2-18k2cx+27k2c2-6c2=0．
依题意，
而①
②
由题设知，点B为线段AE的中点，所以x1+3c=2x2③
联立①③解得，
将x1，x2代入②中，解得．
（III）解法一：由（II）可知
当时，得，由已知得．
线段AF1的垂直平分线l的方程为直线l与x轴
的交点是△AF1C外接圆的圆心，
因此外接圆的方程为．
直线F2B的方程为，
于是点H（m，n）的坐标满足方程组，
由m≠0，解得故
当时，同理可得．
解法二：由（II）可知
当时，得，由已知得
由椭圆的对称性可知B，F2，C三点共线，
因为点H（m，n）在△AF1C的外接圆上，
且F1A∥F2B，所以四边形AF1CH为等腰梯形．
由直线F2B的方程为，
知点H的坐标为．
因为|AH|=|CF1|，所以，解得m=c（舍），或．
则，所以．当时同理可得