Question

已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，点M是棱AA'的中点，点O是对角线BD'的中点．
（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA'和BD'的公垂线；
（Ⅱ）求三棱锥M-OBC的体积；
（Ⅲ）求二面角M-BC'-B'的正切值．

Answer

（Ⅰ）连接AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连接OK因为M是棱AA′的中点，点O是BD′的中点，证明MO⊥AA′，MO⊥BD′，证明OM为异面直线AA'和BD'的公垂线．
（Ⅱ）求出点O到平面MA′D′距离h，利用VM-OBC=VM-OA′D′=VO-MA′D′=S△MA′D′h，求出体积．
（Ⅲ）取′BB′中点N，连接MN，则MN⊥平面BCC′B′，过点N作NH⊥BC′于H，连接MH，
说明∠MHN为二面角M-BC′-B′的平面角，在Rt△MNH中，求出tan∠MHN即可．
【解析】
（Ⅰ）证明：连接AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连接OK因为M是棱AA′的中点，点O是BD′的中点，所以AM
所以MO…（1分）
由AA′⊥AK，得MO⊥AA′…（2分）
因为AK⊥BD，AK⊥BB′，所以AK⊥平面BDD′B′
所以AK⊥BD′
所以MO⊥BD′…（3分）
又因为OM是异面直线AA′和BD′都相交
故OM为异面直线AA'和BD'的公垂线…（4分）
（Ⅱ）易知，S△OBC=S△OA′D′，…（10分）
且△OBC和△OA′D′都在平面BCD′A′内，点O到平面MA′D′距离h=…（11分）
VM-OBC=VM-OA′D′=VO-MA′D′=S△MA′D′h=…（14分）
（Ⅲ）取′BB′中点N，连接MN，则MN⊥平面BCC′B′，过点N作NH⊥BC′于H，连接MH，则由三垂线定理得BC′⊥MH
从而，∠MHN为二面角M-BC′-B′的平面角…（6分）
MN=1，NH=Bnsin45°=…（7分）
在Rt△MNH中，tan∠MHN=
故二面角M-BC′-B′的正切值的大小为2…（9分）