Question

已知圆，直线l与圆C₁相切于点A（1，1）；圆C₂的圆心在直线x+y=0上，且圆C₂过坐标原点．
（1）求直线l的方程；
（2）若圆C₂被直线l截得的弦长为8，求圆C₂的方程．

Answer

（1）利用圆，直线l与圆C1相切于点A（1，1），可求线l的斜率为-1，从而可求直线l的方程；
（2）先假设圆的方程，求点到直线的距离，再利用勾股定理求弦长，从而可求圆C2的方程．
【解析】
（1）∵圆，直线l与圆C1相切于点A（1，1），
∴直线l与直线AC1垂直，…（1分）
而圆的圆心C1（0，0），则直线AC1的斜率为k=1，…（2分）
∴直线l的斜率为-1，…（3分）
则直线l的方程为y-1=-（x-1），…（5分）
即x+y-2=0…（6分）
（2）设圆C2的圆心C2（a，-a），半径为r，则圆C2的方程为（x-a）2+（y+a）2=r2，…（7分）
∵圆C2过原点，
∴2a2=r2，…（8分）
∴圆C2的方程为（x-a）2+（y+a）2=2a2．…（9分）
而圆C2被直线l截得的弦长为8．
∴圆心C2（a，-a）到直线l：x+y-2=0的距离：，…（10分）
得到r2=18，a=3或a=-3…（12分）
∴圆C2的方程为：（x-3）2+（y+3）2=18或（x+3）2+（y-3）2=18…（14分）