Question

已知定义域为R的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0
（1）证明：函数f（x）是奇函数；
（2）若f（1）=2，求函数f（x）在区间[-2，2]上的最大值和最小值；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（t²-k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer

（1）f（x）是定义在R上的奇函数，可得f（0）=0，再令y=-x即可证明函数f（x）是奇函数；
（2）在R上任取x1，x2，且x1＞x2，由f（x1）-f（x2）=f（x1-x2）＞0可判断f（x）在R上单调递增，于是可求函数f（x）在区间[-2，2]上的最大值和最小值；
（3）利用f（x）在R上单调递增，脱掉函数符号即可求实数k的取值范围．
证明：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0…（1分）
∵f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（x-x）=f（x）+f（-x）=0
∴-f（x）=f（-x）…（3分）
∵f（x）的定义域为R，关于原点对称．
∴f（x）是奇函数．…（4分）
（2）在R上任取x1，x2，且x1＞x2，
f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1-x2）
∵x1-x2＞0，
∴f（x1-x2）＞0
∴f（x1）-f（x2）＞0，即：f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在R上单调递增．…（7分）
∵f（1）=2，
∴f（2）=f（1）+f（1）=4，f（-2）=-f（2）=-4…（8分）
∴f（x）在[-2，2]上最大值为4，最小值为-4．…（9分）
（3）∵f（t2-2t）+f（t2-k）＞0，f（x）是定义在R上的奇函数，
∴…（11分）
由（2）可知f（x）在R上单调递增，
∴t2-2t＞-t2+k，
∴k＜2t2-2t=2-恒成立…（12分）
∴…（14分）