Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E、F、G分别是DD₁，BD，BB₁的中点．
（1）求证：EF⊥CF；
（2）求EF与CG所成角的余弦值；
（3）求CE的长．

Answer

（1）利用线面垂直的判定证明CF⊥平面BDD1B1，再利用线面垂直的性质证明EF⊥CF；
（2）取B1D1的中点M，连接GM，CM，B1D．在平面BB1DD1上，FE∥B1D，GM∥B1D，所以∠CGM（或其补角）为EF与CG所成角，故可求；
（3）直接利用勾股定理计算可得．
（1）证明：在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，∵F是BD的中点
∴CF⊥BD，D1D⊥CF
∵BD∩D1D=D
∴CF⊥平面BDD1B1，
∵点E、F分别是DD1，BD的中点．
∴EF⊂平面BDD1B1，
∴EF⊥CF；
（2）取B1D1的中点M，连接GM，CM，B1D．
在平面BB1DD1上，FE∥B1D，GM∥B1D，所以∠CGM（或其补角）为EF与CG所成角．
在△CMG中，MG=，CG=，CM=
∴cos∠CGM==
∴EF与CG所成角的余弦值为；
（3）在直角△DEC中，CD=1，DE=，∴CE=