Question

已知数列{a_n}中，其中S_n为数列{a_n}的前n项和，并且S_n+1=4a_n+2 （n∈N^*），a₁=1
（1）b_n=a_n+1-2a_n （n∈N^*），求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）设数列c_n=（n∈N^*）求证：数列{c_n}是等差数列；
（3）求数列{a_n}的通项公式和前n项．

Answer

（1）先根据已知条件Sn+1=4an+2得到Sn+2=4an+1+2，作差整理即可得到数列{bn}是等比数列；
（2）直接根据数列{bn}是等比数列，求出an+1-2an 的表达式；再代入数列{cn}的作差式，整理即可得到结论．
（3）先根据数列{cn}是等差数列得到的通项得到an=（3n-1）2n-2；再结合Sn+1=4an+2 即可求出结论数列{an}的前n项和．
【解析】
（1）由Sn+1=4an+2 （n∈N*）知，Sn+2=4an+1+2，两式相减得an+2=4an+1-4an
an+2-2an+1=2（an+1-2an），又bn=an+1-2an所以bn+1=2bn…①
已知S2=4a1+2，a1=1解得a2=5，b1=a2-2a1=3     …②
由①②得数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列，∴bn=3•2n-1．…（4分）
（2）∵bn=an+1-2an=3•2n-1．…
∵cn=（n∈N*），
∴cn+1-cn====．
又c1==，
故数列{cn}是首项为，公差是的等差数列，
∴cn=n-…（8分）
（3）∵cn=（n∈N*） 
又cn=n-
∴an=（3n-1）2n-2…（10分）
当n≥2时，Sn=4an-1+2=（3n-4）2n-1+2；
当n=1时S1=a1=1也适合上式，
所以{an}的前n项为Sn=（3n-4）2n-1+2…（12分）